Question

9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F．若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，-1）．
（1）求证：DC=FC；
（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求⊙P的半径．

Answer 1

分析 （1）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，只要证明△FOC≌△DHC（AAS），即可推出DC=FC；
（2）结论：⊙P与x轴相切．只要证明PC⊥x轴即可．
（3）设AD的长为x，则在直角△ABD中，由勾股定理，得x²=6²+（x-2）²，解得 x=10．推出点A的坐标为（0，-9），再利用待定系数法即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD=∠COF=90°．
∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，-1），
∴DH=OF，
∵在△FOC与△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠DCH}\\{∠FOC=∠DHC=90°}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△DHC（AAS），
∴DC=FC；

（2）答：⊙P与x轴相切．理由如下：
如图，连接CP．
∵AP=PD，DC=CF，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x轴．
又PC是半径，
∴⊙P与x轴相切；

（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位线，
∴AF=2CP．
∵AD=2CP，
∴AD=AF．
连接BD．
∵AD是⊙P的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1．
设AD的长为x，则在直角△ABD中，由勾股定理，得
x²=6²+（x-2）²，
解得 x=10．
∴点A的坐标为（0，-9）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0）．则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{6k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x-9．

点评 本题考查了圆的综合题、一次函数解析式的应用、坐标与图形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线．构造全等三角形解决问题，本题体现了数形结合数学思想的应用，属于中考压轴题．