Question

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
（1）画出直线EF．
（2）设直线MN与EF相交于点O，求∠COC″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
（3）证明：点O是△C′C″C三边垂直平分线的交点．

Answer 1

考点：作图-轴对称变换

专题：

分析：（1）作出线段B′B″和线段C′C″的垂直平分线进而得出直线EF；
（2）利用关于直线对称的性质得出∠COM=∠MOC′，∠C′OE=∠C″OE，进而得出∠COC″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系；
（3）利用垂直平分线的性质与判定得出答案．

解答：（1）解：如图所示：直线EF即为所求；

（2）解：连接CO，C′O，C″O，CC′，C″C′
∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，
∴∠COM=∠MOC′，∠C′OE=∠C″OE，
∴∠COC″=2（∠MOC′+∠C″OC′），
∴∠COC″是直线MN，EF所夹锐角α的2倍；

（3）证明：∵由题意可得：直线MN垂直平分CC′，直线EF垂直平分C″C′，直线MN与EF相交于点O，
∴CO=OC′=OC″，
∴点O是△C′C″C三边垂直平分线的交点．

点评：此题主要考查了轴对称变换以及线段垂直平分线的性质，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键．