Question

6．已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）；设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P′（4，0），、求PE的值；
（3）当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8）将C点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，求得顶点P（5，-3$\sqrt{3}$）得到AP=AB=BP=6，求得∠PAP′=60°，作P′G⊥AP于G，根据A（2，0），P′（4，0），得到AP′=2，求出AG=$\frac{1}{2}$AP′=1，P′G=$\sqrt{3}$，设P′E=PE=y，EG=6-1-y根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）先求出P点坐标，在Rt△P′EG中，根据勾股定理便可求出y关于x的函数关系式，分别令EP′⊥x轴、FP′⊥x轴、EF⊥x轴进行分类讨论，便可得出满足题意得P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-8），
把C（0，$\frac{16\sqrt{3}}{3}$）代入得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）（x-8）
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$；

（2）∵抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$顶点P（5，-3$\sqrt{3}$）
∴AP=AB=BP=6，
∴∠PAP′=60°，
作P′G⊥AP于G，
∵A（2，0），P′（4，0），
∴AP′=2，
∴AG=$\frac{1}{2}$AP′=1，P′G=$\sqrt{3}$，
设P′E=PE=y，EG=6-1-y
在Rt△P′EG中，（$\sqrt{3}$）²+（6-1-y）²=y²
解得：y=2.8
∴P′E=PE=2.8；

（3）AP′=x，PE=y，∵顶点P（5，-3$\sqrt{3}$
AP=AB=BP=6，
∴∠PAP′=60°，
作P′G⊥AP于G，
则AG=$\frac{1}{2}$x，P′G=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
又P′E=PE=y，EG=6-$\frac{1}{2}$x-y
在Rt△P′EG中，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²+（6-$\frac{1}{2}$x-y）²=y²，
∴y=$\frac{{x}^{2}-6x+36}{12-x}$（0＜x＜6）
①若EP′⊥x轴，则6-y=2x，6-$\frac{{x}^{2}-6x+36}{12-x}$=2x，
x₁=12-6$\sqrt{3}$，x₂=12+6$\sqrt{3}$（舍去），
∴P′（14-6$\sqrt{3}$，0）
②若FP′⊥x轴，则6-y=$\frac{1}{2}$x，6-$\frac{{x}^{2}-6x+36}{12-x}$=$\frac{1}{2}$x，
x₃=6$\sqrt{3}$-6，x₄=-6$\sqrt{3}$-6（舍去），
∴P′（6$\sqrt{3}$-4，0）
③若EF⊥x轴，显然不可能．
∴P′（14-6$\sqrt{3}$，0）或P′（6$\sqrt{3}$-4，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和勾股定理等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．