Question

13．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．
（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；
（2）求证：CF与⊙O相切；
（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，由E为BC边中点，AO=DO，得到AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，等量代换得到AO=EC，AO∥EC，即可得到结论；
（2）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；
（3）如图，连接DE，由AD是直径，得到∠AFD=90°，根据点F为AE的中点，得到DF为AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=AD，推出△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质得到AE=DE，推出三角形ADE为等边三角形，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形；

（2）如图1，连接OF，
∵四边形OAEC是平行四边形
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，
∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
在△ODC与△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{∠DOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；

（3）如图2，连接DE，
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∵点F为AE的中点，
∴DF为AE的垂直平分线，
∴DE=AD，
在△ABE与R△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠BCD=90°}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴AE=DE=AD，
∴三角形ADE为等边三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．