Question

8．如图，直线l过△ABC的重心G，它与两边AB、AC相交，设A，B，C在l上的射影分别是F，E，H，求证：BE+CH=AF．

Answer 1

分析 连接AG，并延长，交BC于D，过D做DK垂直于直线L，垂足为K，根据三角形中线的性质得到BD=CD，推出BE∥DK∥CH，得到DK为梯开EBCH的中线，求得DK=$\frac{1}{2}$（BE+CH），根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{DK}=\frac{AG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，得到AF=2DK，根据得到结论．

解答 证明：连接AG，并延长，交BC于D，过D做DK垂直于直线L，垂足为K，
∵直线l过△ABC的重心G，
∴BD=CD，
∵BE⊥直线l，CH⊥直线l，DK⊥直线l，
∴BE∥DK∥CH，
∴DK为梯开EBCH的中线，
∴DK=$\frac{1}{2}$（BE+CH），
∵AF⊥直线l，
∴AF∥DK，
∴△AFG∽△DKG，
∴$\frac{AF}{DK}=\frac{AG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=2DK，
∴AF=BE+CH．

点评 本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．