Question

17．已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD，点E在AB上，满足∠ADC-∠ABC=2∠BCE，求证：CE⊥AB．

Answer 1

分析 先过C作CF垂直AD于F，根据∠B+∠ADC=180°，∠ADC-∠B=2∠BCE，得出∠ADC=90°+∠BCE，再根据三角形外角性质，得出∠ADC=90°+∠DCF，进而得到∠DCF=∠BCE，最后根据∠B=∠CDF，得出∠CFD=∠CEB=90°即可．

解答 证明：过C作CF垂直AD于F，则∠CFD=90°，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC-∠B=2∠BCE，
∴两式相加，可得2∠ADC=180°+2∠BCE，
即∠ADC=90°+∠BCE，①
又∵∠ADC是△CDF的外角，∠CFD=90°，
∴∠ADC=90°+∠DCF，②
由①②可得，∠DCF=∠BCE，
∵∠B+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠CDF，
∴∠CFD=∠CEB=90°，
∴CE⊥AB．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理、邻补角以及垂线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用角的和差关系进行推导是本题的难点．