Question

6．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P．

（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并加以证明；
（3）将直线MN绕点P旋转，使MN与AC的交点在AC的延长线上，如图③，∠MPB，∠NPC，∠A三者之间又有怎样的数量关系？

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB，再根据角平分线定义得到∠BPC=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB），再利用三角形内角和定理得∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，然后把∠A的度数代入计算；
（2）如图③，结论：∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．根据平角定义得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，然后根据（1）的求解；
（3）不成立，结论是：∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．由∠MPB=180°-∠BPN=180°-（∠BPC-∠NPC），推出∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A），由此即可证明．

解答 解：（1）如图①

∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130°．

（2）如图③，结论：∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

理由：由（1）知：∠BPC=180°-（∠1+∠2）；
∵∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

（3）不成立，结论是：∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
如图③

理由：由（ⅰ）知：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠MPB=180°-∠BPN=180°-（∠BPC-∠NPC），
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 该题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点是基础，灵活运用是关键．