Question

16．如图，正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的内接正十二边形的一条边，若CD的长为5$\sqrt{2}$，则⊙O的半径为5．

Answer 1

分析 首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答 解：连接OA、OD、OC，如图所示：
∵等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一边，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°，∠AOD=$\frac{1}{12}$×360°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠BAD=90°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×5$\sqrt{2}$=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：5．

点评 此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．