Question

如图，把矩形ABCO放置在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x+6上的一点，若△APD是等腰直角三角形，则点D的坐标为

 

，m=

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD=AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形APF全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；

解答：解：（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，

∠DEA=∠AFP   ∠EAD=∠FPA   AD=AP

∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，DE=AF，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14），DE=AF=BP=4，
∴PC=6-4=2，
∴m=2；
故答案为：（4，14）；2．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，培养学生综合运用知识进行推理论证和计算的能力．