Question

3．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC和BC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：AC+BC=$\sqrt{2}$CD；
（2）已知⊙O的半径为5，CD=7$\sqrt{2}$，若AC＜BC，求弦AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先过点D作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，由AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，可证得Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），则可得AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF，△CDF是等腰直角三角形，继而求得答案；
（2）由CD=7$\sqrt{2}$，可求得AC+BC=14，然后设AC=x，由勾股定理构造方程，解此方程即可求得答案．

解答 （1）证明：过点D作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∴AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∴AC+BC=2CF=$\sqrt{2}$CD；

（2）解：∵CD=7$\sqrt{2}$，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD=14，
设AC=x，则BC=14-x，
在Rt△ABC中，AB=2×5=10，
∴x²+（14-x）²=10²，
∵AC＜BC，
∴x=6，
∴AC=6．

点评 此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．能准确作出辅助线，借助于方程求解是解此题的关键．