Question

【题目】已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．

（1）如图1，连接，求证：四边形为菱形；

（2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，

①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________．

②若点的运动路程分别为 （单位:），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②

【解析】

(1)先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
(2)①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式.

（1）证明：∵四边形是矩形，

∴

∴，

∵垂直平分，垂足为，

∴，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵

∴四边形为菱形，

（2）①秒．

显然当点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形．因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形．

∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，

∴点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，

∴，

∴，解得

∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．

②与满足的数量关系式是，

由题意得，以四点为顶点的四边形是平行四边形时，

点在互相平行的对应边上，分三种情况：

i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得．

ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得．

iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得．

综上所述，与满足的数量关系式是．