Question

已知AB切⊙O于点B，OA=2

3

，AB=3，弦BC∥OA．
（1）求劣弧BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连结OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AB，在Rt△OAB中利用正弦的定义得sin∠AOB=

3

2

，则∠AOB=60°，可计算出OB=

3

；再根据平行线的性质由BC∥OA得到∠OBC=∠BOA=60°，则△OBC为等边三角形，所以∠BOC=60°，然后根据弧长公式计算劣弧BC的长；
（2）根据扇形的面积公式和利用图中阴影部分的面积=S_扇形BOC-S_△BOC进行计算．

解答：解：（1）连结OB，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
在Rt△OAB中，∵OA=2

3

，AB=3，
∴sin∠AOB=

AB

OA

=

3

2 3

=

3

2

，
∴∠AOB=60°，
∴∠A=30°，
∴OB=

1

2

OA=

3

，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠BOA=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的长=

60•π• 3

180

=

3

3

π；
（2）图中阴影部分的面积=S_扇形BOC-S_△BOC
=

60•π•( 3 )2

360

-

3

4

•（

3

）²
=

1

2

π-

3 3

4

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得到直角三角形．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．