Question

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
求证：FD=FG．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：根据圆周角定理由弧AD=弧CD得到∠ABD=∠CBD，由AB为直径得到∠ACB=90°，则∠CGB+∠CBG=90°，利用对顶角相等得∠CGB=∠DGF，则∠CGB+∠DGF=90°，再根据垂直的定义由DE⊥AB得∠D+∠EBD=90°，所以∠D=∠DGF，然后根据等腰三角形的判定易得FD=FG．

解答：证明：∵D是弧AC的中点，
∴弧AD=弧CD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CGB+∠CBG=90°，
而∠CGB=∠DGF，
∴∠CGB+∠DGF=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠D+∠EBD=90°，
∴∠D=∠DGF，
∴FD=FG．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．