Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，试证：①△ABD≌△ACF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC=CF+CD的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据菱形的性质求得AF=AD，根据等边三角形的性质求得∠BAD=∠CAF，即可求得△BAD≌△CAF，得出CF=BD即可求得AC=CF+CD．
（2）同（1）求得AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，然后根据三角形全等求得BD=CF，即可求得AC=CF-CD．
（3）解题思路同（1）、（2）．

解答：（1）证明：∵四边形AFED是菱形，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
∴AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，
即AC=CF-CD．


（3）AC=CD-CF．
证明：∵四边形AFED是菱形，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∵BC=CD-BD，
∴BC=CD-CF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．