Question

已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S_△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x²+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意，，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x²-2x+3．

（2）∵抛物线y=x²-2x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3）．
∵B（3，6），
可得直线AB的解析式为y=x+3．
设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x²-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
∴．
∴．
解得 x₁=1，x₂=2．
故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得．
∵抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为 ，
∴．
∴b²=2c．
∴抛物线，A（0，），P（，），D（，0）．
可得直线OP的解析式为．
∵点B是抛物线与直线的图象的交点，
令 ．
解得．
可得点B的坐标为（-b，）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为．
将点D（，0）的坐标代入，得．
则平移后的抛物线解析式为．
令y=0，即．
解得．
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=．
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x²+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x²-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
（3）由PA=PO，OA=c，可得，又知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为 ，即可求出b和c的关系，进而得到A（0，），P（，），D（，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题设计抛物线解析式得求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及矩形的判定，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大．