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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），
    （1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．
    （2）设点C始终为
    		AE
    的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作F精英家教网N∥CD，过C作圆的切线交FN于N．
    求证：①CN∥AE；
    ②四边形CGFN为菱形；
    ③是否存在这样的t值，使BE2=CF•CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．
    分析：（1）根据弧长计算公式直接求出即可；
    （2）①利用圆周角定理和平行线的判定以及弦切角定理得出即可；
    ②利用平行四边形的判定以及菱形判定得出即可；
    ③利用相似三角形的判定得出△ACF∽△BCA，再利用等腰三角形的知识得出当t=10s时，∠AOC=
    1
    2
    ∠AOE=60°，即可得出答案．
    解答：（1）解：∵射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，
    ∴B一秒P转动的圆心角为12°，
    ∴每秒走过的弧长为：
    12π×6
    180
    =
    2
    5
    πcm∕s；

    （2）①证明：如图所示：
    ∵点C始终为
    AE
    的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．
    ∴∠ACD+∠CAG=∠CGF，∠ABC=∠GAC=∠ACG，
    ∠MCA=∠ABC，
    ∴∠MCA+∠ACG=∠ACD+∠CAG，
    ∴CN∥AE；
    ②证明：∵FN∥CD，CN∥AE；
    ∴四边形CGFN是平行四边形，
    ∵∠GCF=90°-∠ACG，
    ∠CFG=∠EFB=90°-∠EBC，
    ∵∠EBC=∠ACD，
    ∴∠GCF=∠GFC，
    ∴CG=GF，
    ∴平行四边形CGFN为菱形；
    ③解：连接EO，CO．精英家教网
    存在，理由如下：
    ∵∠ACF=∠ACB，
    ∠CAF=∠CBA，
    ∴△ACF∽△BCA，
    ∴
    AC
    BC
    =
    CF
    AC
    ，
    ∴AC2=BC•CF，
    ∵当t=10s时，∠AOC=
    1
    2
    ∠AOE=60°，
    ∴∠BOE=60°，
    ∴△AOC，△BOE都是等边三角形，且此时全等，
    ∴AC=BE，
    ∴BE2=BC•CF．
    点评：此题主要考查了切线的性质定理以及圆周角定理、相似三角形的判定、菱形的判定等知识，根据已知得出角之间等量关系是解决问题的关键．
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    （3）如果AB=4，求图中阴影部分的面积．

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    精英家教网如图，半圆O的直径AD=12cm，AB、BC、CD分别与半圆O切于点A、E、D．
    （1）线段AB、CD与BC之间有什么关系？并说明理由；
    （2）设AB=x，CD=y，求y与x之间的函数关系式；
    （3）如果AB=4，求图中阴影部分的面积．

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    （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

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