Question

14．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA在x轴上，点B在第一象限内，AO=4，∠BOA=30°．点C（t，0）是x轴正半轴上一动点（不与O，A重合），△OBC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D．
（1）求点B坐标；
（2）用t的代数式表示OD的长；
（3）在过点O、B、A的抛物线上是否存在点Q，使得以Q为圆心，2为半径的圆与直线OB相切？若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点B作BH⊥OA于H，如图1，在Rt△OBA中运用三角函数可求出AB，OB，在Rt△OHB中运用三角函数可求出OH，BH，就可得到点B的坐标；
（2）在Rt△OCD中，OC=t，要求OD，只需求出DC，易得DC=2BC，只需求出BC，在Rt△BHC中运用勾股定理即可解决问题；
（3）可分点Q在直线OB的上方和下方两种情况讨论：①若Q在直线OB的下方，易证当点Q在点A处时满足要求，显然过点A平行于OB的直线与抛物线的另一个交点也满足要求，只需求出该直线的解析式，然后求出该直线与抛物线的交点坐标，就可解决问题；②若Q在直线OB的上方，易得过点Q平行于OB的直线的解析式，只需求出该直线与抛物线的交点坐标，就可解决问题．

解答 解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1，
∵∠ABO=90°，AO=4，∠BOA=30°，
∴AB=OA•sin∠AOB=4×$\frac{1}{2}$=2，
OB=OA•cos∠AOB=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∴BH=OB•sin∠HOB=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
OH=OB•cos∠HOB=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴B（3，$\sqrt{3}$）；

（2）在Rt△BHC中，
BC=$\sqrt{C{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（3-t）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-6t+12}$．
∵∠COD=90°，
∴CD是⊙P的直径，
∴∠CBD=90°．
∵∠BDC=∠BOC=30°，
∴BC=DC•sin∠BDC=$\frac{1}{2}$DC，
∴DC=2BC=2$\sqrt{{t}^{2}-6t+12}$，
∴OD²=CD²-OC²=4（t²-6t+12）-t²=3t²-24t+48，
∴OD=$\sqrt{3{t}^{2}-24t+48}$；

（3）①若点Q在OB下方，
∵AB=2，∠ABO=90°，
∴当点Q在点A处，以Q为圆心，2为半径的圆与直线OB相切，
此时点Q的坐标为（4，0）．
过点A作OB的平行线，交y轴于点E，如图2，
则有∠OAE=∠BOA=30°，
∴OE=OA•tan∠OAE=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴E（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
直线AE的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
设过点O（0，0），A（4，0），B（3，$\sqrt{3}$）的抛物线解析式为
y=ax（x-4），
则有$\sqrt{3}$=a×3×（3-4），
解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x-4）．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x（x-4）}\end{array}\right.$得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（-1，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）或（4，0）．
②若点Q在OB上方，
则过点Q平行于OB的直线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x（x-4）}\end{array}\right.$，
该方程组无解，
综上所述：点Q的坐标为（-1，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）或（4，0）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、直线与抛物线的交点坐标、解方程组、勾股定理、三角函数的定义、圆周角定理、切线的判定等知识，综合性比较强，需要注意的是由于点Q相对于OB的位置不确定，因此需分情况讨论．