【题目】【问题提出】如图①,已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB,C为公路BD上的酒店,从海岛A到酒店C,先乘船到登陆点D,船速为a,再乘汽车,车速为船速的n倍,点D选在何处时,所用时间最短?
【特例分析】若n=2,则时间t= + ,当a为定值时,问题转化为:在BC上确定一点D,使得AD+ 的值最小.如图②,过点C做射线CM,使得∠BCM=30°.
(1)过点D作DE⊥CM,垂足为E,试说明:DE= ;
(2)【问题解决】请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′,并说明理由.
(3)【模型运用】请你仿照“特例分析”中的相关步骤,解决图①中的问题(写出具体方案,如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等).
(4)如图③,海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m,BC=300m.救生员在C点处发现标志A处有人求救,
立刻前去营救,若救生员在岸上跑的速度都是6m/s,在海中游泳的速度都是2m/s,求救生员从C点出发到
达A处的最短时间.
【答案】
(1)解:如图①,
∵DE⊥CM,∴∠DEC=90°,
∴在Rt△BCM中,DE=CDsin30°,
∴DE= .
(2)解:如图①过点A作AE⊥CM交CB于点D',则D'点即为所用时间最短的登陆点.
理由如下:由第(1)问可知,D'E'= .
AD'+ 最短,即为AD'+D'E′最短.
由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中,垂线段最短.
可知此时D'点即为所求
(3)解:如图②,
过点C做射线CM,使得sin∠BCM= ,
过点A作AE⊥CM,垂足为E,交CB于点D,则D即为所用时间最短的登陆点.
(4)解:∵救生员在岸上跑的速度都是6m/s,在海中游泳的速度都是2m/s,
∴此时sin∠BCM= ,可得sin∠DAB= ,
∴在Rt△ADB中,AB=300,
AD=225 ,DB=75 ,CD=300﹣75 .
∴时间为 + =(50+100 )s.
【解析】(1)在Rt△BCM中利用三角函数可求得;
(2)根据垂线段最短,可作出所用时间最短的登陆点D′;
(3)由“特例分析”可知n=2,则作∠BCM=30°,再仿照(2)的作法可得;
(4)由救生员在岸上跑的速度和在海中游泳的速度可求出sin∠BCM的值和sin∠DAB的值,在Rt△ADB中求出AD、BD,从而得到CD,从而可求得时间.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南,唱我云南”的歌咏比赛,共有18名同学入围,他们的决赛成绩如下表:
成绩(分) | 9.40 | 9.50 | 9.60 | 9.70 | 9.80 | 9.90 |
人数 | 2 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 |
则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是( )
A.9.70,9.60
B.9.60,9.60
C.9.60,9.70
D.9.65,9.60
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了解食品安全状况,质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量,将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)这次抽查了四个品牌的饮料共瓶;
(2)请你在答题卡上补全两幅统计图;
(3)若四个品牌饮料的平均合格率是95%,四个品牌饮料月销售量约15万瓶,请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知数轴上点A表示的数为-3,B是数轴上位于点A右侧一点,且AB=12.动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)数轴上点B表示的数为______;点P表示的数为______(用含t的代数式表示).
(2)动点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动;点P、点Q同时出发,当点P与点Q重合后,点P马上改变方向,与点Q继续向点A方向匀速运动(点P、点Q在运动过程中,速度始终保持不变);当点P到达A点时,P、Q停止运动.设运动时间为t秒.
①当点P与点Q重合时,求t的值,并求出此时点P表示的数.
②当点P是线段AQ的三等分点时,求t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如∠MON=30°、OP=6,点A、B分别在OM、ON上;(1)请在图中画出周长最小的△PAB(保留画图痕迹);(2)请求出(1)中△PAB的周长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线与x轴交于点和A(﹣1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线解析式;
(2)点P是抛物线BC段上一点,PD⊥BC,PE∥y轴,分别交BC于点D、E.当DE= 时,求点P的坐标;
(3)M是平面内一点,将符合(2)条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后,点P,D,E的对应点分别是P′、D′、E′.设P′E′的中点为N,当抛物线同时经过D′与N时,求出D′的横坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°
(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由;
(2)如图2,在(1)的结论下,当∠E=90°保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?
(3)如图3,在(1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系? (2、3小题只需选一题说明理由)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知a,b,c满足|a-|++(c-)2=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)试问以a,b,c为边能否构成三角形?若能,求出其周长;若不能,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com