Question

（1）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°+∠A；
（2）请直接写出①和②的结论，并选择其中的一个结论证明 
①如图2，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．
②如图3，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠BEC与∠A的关系．

Answer 1

（1）证明：在△BOC中，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴2∠BOC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A；

（2）∠BCP=90°-∠A．
证明：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；

（3）2∠BEC=∠A．
证明：∵CE为∠ACB的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，两角平分线交于点E，
∴∠1=∠2，∠ABE=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ACF中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A----①
在△BEF中，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠E=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，
把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A．
分析：（1）先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-∠A；
（3）根据CE为∠ABC的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠E=180°-∠4-∠ABE=180°-∠3-（∠A+2∠1），两式联立可得2∠BEC=∠A．
点评：本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．