Question

【题目】如图1，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（4，0），同时将点A，O分别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到对应点B，C．

（1）求四边形OABC的面积；

（2）在y轴上是否存在一点M，使△MOA的面积与四边形OABC的面积相等？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点P在OA边上，且∠CBP=∠CPB，Q是AO延长线上一动点，∠PCQ的平分线CD交BP的延长线于点D，在点Q运动的过程中，求∠D和∠CQP的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）8（2）M（0，4）或（0，-4）（3）∠CQP=2∠D

【解析】

（1）首先证明四边形OABC是平行四边形，理由平行四边形的面积公式计算即可；

（2）存在．如图1中，设M（0，m），根据绝对值方程即可解决问题；

（3）结论：∠CQP=2∠D．如图3中，延长CP到K．首先证明∠DPQ=∠DPK，设∠DPQ=∠DPK=x，∠DCQ=∠DCP=y，构建方程组即可解决问题；

（1）如图1中，由题意B（3，1），C（-1，2），

∴BC∥OA，BC=OA，

∴四边形ABCO是平行四边形．

∴S平行四边形ABCD=4×2=8．

（2）存在．理由：如图1中，设M（0，m）

由题意S△AOM=8，

∴×4×|m|=8

∴m=±4，

∴M（0，4）或（0，-4）．

（3）结论：∠CQP=2∠D．

理由：如图3中，延长CP到K．

∵BC∥OA，

∴∠CBP=∠DPQ，

∵∠CBP=∠CPB，∠CPB=∠DPK，

∴∠DPQ=∠DPK，设∠DPQ=∠DPK=x，∠DCQ=∠DCP=y，

则有，

①-2×②得到∠CQP=2∠D．