Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm²？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？

Answer 1

分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：

1

2

×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）△ABC的面积的一半等于

1

2

×

1

2

×AC×BC=12cm²，令

1

2

×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

解答：解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm²．
由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
则

1

2

•(6-x)•2x=8．
整理，得x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm²．

（2）由题意得：
S_△ABC=

1

2

×AC•BC=

1

2

×6×8=24，
即：

1

2

×2x×（6-x）=

1

2

×24，
x²-6x+12=0，
△=6²-4×12=-12＜0，该方程无实数解，
所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．

点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解．