Question

13．如图，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D，联结AC、BC、DB、DC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）求证：△ACO∽△DBC；
（3）如果点E在x轴上，且在点B的右侧，∠BCE=∠ACO，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，3），即可求得b，c的值，进而得到抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）先根据B（3，0），A（-1，0），D（1，4），求得CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，AO=1，CO=3，进而得到CD²+BC²=BD²，从而判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，最后根据∠AOC=∠DCB，$\frac{AO}{DC}$=$\frac{CO}{BC}$，判定△ACO∽△DBC；
（3）先设CE与BD交于点M，根据MC=MB，得出M是BD的中点，再根据B（3，0），D（1，4），得到M（2，2），最后根据待定系数法求得直线CE的解析式，即可得到点E的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）∵当y=0时，0=-x²+2x+3，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
又∵A（-1，0），D（1，4），
∴CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，AO=1，CO=3，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴∠AOC=∠DCB，
又∵$\frac{AO}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CO}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AO}{DC}$=$\frac{CO}{BC}$，
∴△ACO∽△DBC；

（3）设CE与BD交于点M，
∵△ACO∽△DBC，
∴∠DBC=∠ACO，
又∵∠BCE=∠ACO，
∴∠DBC=∠BCE，
∴MC=MB，
∵△BCD是直角三角形，
∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC，
∴∠DCM=∠CDM，
∴MC=MD，
∴DM=BM，即M是BD的中点，
∵B（3，0），D（1，4），
∴M（2，2），
设直线CE的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CE为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当y=0时，0=-$\frac{1}{2}$x+3，
解得x=6，
∴点E的坐标为（6，0）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等．