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【题目】已知:如图所示,在平面直角坐标系xoy中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3,动点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、点Q的运动时间为ts).

(1)当t=1s时,求经过点OPA三点的抛物线的解析式;

(2)当t=2s时,求tan∠QPA的值;

(3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求ts)的值;

(4)连接CQ,当点PQ在运动过程中,记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求St的函数关系式.

【答案】1;(2;(3t=3s;(4

【解析】

1)可求得P点坐标,由OPA的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)当t=2s时,可知P与点B重合,在RtABQ中可求得tanQPA的值;

(3)用t可表示出BPAQ的长,由PBM∽△QAM可得到关于t的方程,可求得t的值;

(4)当点Q在线段OA上时,S=SCPQ;当点Q在线段OA上,且点P在线段CB的延长线上时,由相似三角形的性质可用t表示出AM的长,由S=S四边形BCQM=S矩形OABCSCOQSAMQ,可求得St的关系式;当点QOA的延长线上时,设CQAB于点M,利用AQM∽△BCM可用t表示出AM,从而可表示出BMS=SCBM,可求得答案.

1)当t=1s时,则CP=2,OC=3,四边形OABC是矩形,∴P(2,3),且A(4,0),

∵抛物线过原点O∴可设抛物线解析式为

,解得:

∴过OPA三点的抛物线的解析式为

(2)当t=2s时,则CP=2×2=4=BC,即点P与点B重合,OQ=2,如图1,

AQ=OAOQ=4﹣2=2,且AP=OC=3,

tanQPA==

(3)当线段PQ与线段AB相交于点M,则可知点Q在线段OA上,点P在线段CB的延长线上,如图2

CP=2tOQ=tBP=PCCB=2t﹣4,AQ=OAOQ=4﹣t

PCOA∴△PBM∽△QAM

,且BM=2AM

=2,解得t=3,

∴当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,t3s

(4)当0≤t≤2时,如图3,由题意可知CP=2tS=SPCQ=×2t×3=3t

2<t≤4时,设PQAB于点M

如图4,由题意可知PC=2tOQ=t,则BP=2t﹣4,AQ=4﹣t

同(3)可得=

BM=AM3﹣AM=AM,解得AM=

S=S四边形BCQM=S矩形OABCSCOQSAMQ=3×4﹣×t×3﹣×(4﹣t)×=24﹣﹣3t

t>4时,设CQAB交于点M,如图5,由题意可知OQ=tAQ=t﹣4,

ABOC,即,解得AM=

BM=3﹣=S=SBCM=×4×=

综上可知:

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7

8

9

7

10

10

9

10

10

10

10

8

7

9

8

10

10

9

10

9

1)甲队成绩的中位数是   分,乙队成绩的众数是   分;

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1)几秒时PQAB.

2)设OPQ的面积为y,求yt的函数关系式.

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