Question

已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）请写出你在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题；
（3）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点，
①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）根据直角三角形中两锐角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，则∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根据垂直的定义得CD⊥AB；
（2）有（1）得到两个互逆的真命题为：直角三角形中两锐角互余；两锐角互余的三角形为直角三角形；
（3）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根据折叠的性质得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；
②与①的计算方法一样．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；

（2）两个互逆的真命题为：直角三角形中两锐角互余；两锐角互余的三角形为直角三角形；

（3）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=n°，
∴∠ACD=n°，
∴∠BCD=90°-n°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=n°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-n°-n°=90°-2n°．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．