Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是(　　)

A.2.5B.C.D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

由∠AEC＝90°知E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），作MF⊥AB于F，证△AMF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到MF，根据勾股定理得到AF，BF，BM，于是得到结论．

解：如图，取AC的中点M，以AC为直径作圆M，交AB于点N，连接BM，交圆M于点E′，过M作MF⊥AB于点F，

由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm，
∴AC2＋BC2＝AB2，AM=CM=6
∴∠ACB＝90°，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM＝∠ACB＝90°，∠FAM＝∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴，即，解得：MF=，
∴AF＝，

则BF＝ABAF＝，
∴BM＝，

∵ME＝6，
∴BE长度的最小值BE′＝BMME′＝，
故答案为：C．