Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD=a，BC=b．
（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF=；
（2）如果，如图，判断EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，
∵AD∥BM，
∴∠D=∠1，
∵点F为DC的中点，
∴DF=FC，
又∵∠2=∠3，
∴△ADF≌△MCF，
∴AF=FM，AD=CM，
∵点E为AB的中点，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BC，EF=BM，
∵BM=BC+CM=BC+AD，
∴EF=（AD+BC），即EF=（a+b）；

（2）答：EF∥BC，EF=，
证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，
∵AD∥BM，
∴
又∵==，在△ABM中，有=
∴EF∥BC，
∴==，
∴EF=BM=，
而，
∴CM=，
∴EF=（b+），
∴EF=．
分析：（1）连接AF并延长，交BC的延长线于M，利用ASA可证△ADF≌△MCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就转化为△ABM的中位线，那么EF=BM，而CM=AD，所以EF=BM=（BC+CM）=（BC+AD）；
（2）证法和（1）相同，只是换成求线段的长．先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，从而在△ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例线段的性质，就有AE：AB=AF：AM，再加上一个公共角，可证△AEF∽△ABM，则∠AEF=∠ABM，那么EF∥BM，从而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求，把BM代入上式即可求EF．
点评：本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、比例线段的性质等知识．