Question

如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若半径OB=2，求AD的长．

Answer 1

【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【专题】证明题．

【分析】（1）由于BO=BD=BC，即DB为△ODC的边OC的中线，且有DB=OC，则∠ODC=90°，然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2，则AB=2BD=4，然后根据勾股定理可计算出AD．

【解答】（1）证明：连结OD，如图，

∵BO=BD=BC，

∴BD为△ODC的中线，且DB=OC，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

而OD为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∵BO=BD=2，

∴AB=2BD=4，

∴AD==2．

【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了直角三角形的判定方法、勾股定理．