Question

4．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，
（1）求证：△COD是等边三角形
（2）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形COD是等边△OCD；
（2）根据等腰三角形的性质，分别假设AO=AD，OA=OD，OD=AD，从而求出α．

解答 解：（1）∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；

（2）∵∠AOC=360°-110°-α=250°-α，∠AOD=∠AOC-60°=190°-α，
∵∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ODA=α-60°，
△AOD为等腰三角形，
当AO=OD时，∠AOD+2∠ODA=180°，
即190°-α+2×（α-60°）=180°，解得α=110°，
当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°-α=α-60°，解得α=125°，
当OD=AD时，2×（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°
所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．