Question

19．中国古代对勾股定理有深刻的认识．
（1）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求（ a+b）²的值．
（2）清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步$\frac{s}{6}$=m；第二步：$\sqrt{m}$=k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理可以求得a²+b²等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）²=a²+2ab+b²即可求解；
（2）先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．

解答 （1）解：根据勾股定理可得a²+b²=13，
四个直角三角形的面积是：$\frac{1}{2}$ab×4=13-1=12，即：2ab=12
则（a+b）²=a²+2ab+b²=13+12=25，即（a+b）²=25．

（2）当S=150时，k=$\sqrt{m}$=$\sqrt{\frac{S}{6}}$=$\sqrt{\frac{150}{6}}$=$\sqrt{25}$=5，
所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25，
所以，这个直角三角形的三边长为15，20，25．

点评 本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a²+b²和ab的值是关键．（2）题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答．