Question

5．如图①，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），点P 为OA边上一个动点，PQ⊥OA于P，交OB于点Q，过Q点作QR⊥AB于R，设OP=x，四边形PQRA的面积为S．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）当x取何值时四边形PQRA的面积最大．
（3）如图②，若点P从O点出发，沿OA运动，每秒1个单位长度，点M从B点出发，沿BO运动，每秒2个单位度，当其中一个点到达终点，另一个点也同时停止运动，连结PM，则当运动时间t取何值时，△OPM为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由四边形OABC为矩形，PQ⊥OA，可得$\frac{PQ}{AB}=\frac{OP}{OA}$，继而求得PQ的值，则可求得S与x之间的函数关系式．
（2）由（1），利用二次函数的最值，即可求得答案；
（3）分别从当OM为等腰△POM底边，当PM为等腰△POM底边与当OP为等腰△POM底边，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），
∴OA=4，AB=3，
∴PA=OA-OP=4-x，
∵四边形OABC为矩形，PQ⊥OA，
∴PQ∥AB，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{OP}{OA}$，
∴PQ=$\frac{3x}{4}$，
∴S=$\frac{3}{4}$x•（4-x）=-$\frac{3}{4}$x²+3x；

（2）∵S=-$\frac{3}{4}$x²+3x=-$\frac{3}{4}$（x²-4x）=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴当x=2时，四边形PQRA的面积最大；

（3）如图a，当OM为等腰△POM底边时，过点P作PN⊥OB于点N，则ON=MN，
∵∠NOP=∠AOB，∠ONP=∠OAB=90°，
∴△OPN∽△OBA，
∴ON：OA=OP：OB，
∴ON：4=t：5，
解得：ON=$\frac{4}{5}$t，
∵OM=OB-BM=5-2t，
∴5-2t=2×$\frac{4t}{5}$，
解得：t=$\frac{25}{18}$；
当PM为等腰△OPM底边时，则OP=OM，
即t=5-2t，
解得：t=$\frac{5}{3}$；
如图b，若OP为等腰△OPM底边时，过点M作MH⊥OA于点H，则OP=2OH，
∵MH∥AB，
∴△OHM∽△OAB，
∴OM：OB=OH：OA，
∴$\frac{5-2t}{5}$=$\frac{OH}{4}$，
∴OH=$\frac{20-8t}{5}$，
∴t=2×$\frac{20-8t}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{21}$；
综上所述：当t=$\frac{25}{18}$或$\frac{5}{3}$或$\frac{40}{21}$时，△OPM为等腰三角形．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及等腰三角形的性质．注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．