Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
（3）若AB=5，求$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；
（2）求出∠ABC，求出∠ABF，即可求出答案；
（3）求出∠AOD度数，求出半径，即可求出答案．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE．

（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，
∴∠ABC=63°，
∵BF是⊙O切线，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=27°．

（3）解：连接OD，
∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠AOD=72°，
∵AB=5，
∴OA=2.5，
∴弧AD的长是$\frac{72π×2.5}{180}$=π．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．