Question

11．一等腰三角形ABC，AC边的中点O为圆心，以AO为半径作圆，连接BO与O交于点D，延长AD交BC于点E，已知BD=CE，求证：BC为切线．

Answer 1

分析 延长BO交⊙O于F，连接CF、DC，先证得DE∥CF，得出$\frac{BD}{DF}$=$\frac{BE}{EC}$，继而得出$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，从而证得△BDE∽△BCD，得出∠BDE=∠CAD，即可证得∠ACB=90°．

解答 证明：延长BO交⊙O于F，连接CF、DC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BDE=∠OAD，
∵∠F=∠OAD，
∴∠F=∠BDE，
∴DE∥CF，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{BE}{EC}$，
∵BD=EC，AC=DF，BC=AC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∵∠DBE=∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，
∴∠BCD=∠BDE，
∵∠BDE=∠CAD，
∴∠BCD=∠CAD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°，
∴BC为切线．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质等，作出辅助线构建DE∥CF是解题的关键．