Question

12．有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．
（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额-收购成本-费用），最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据市场价为每千克30元，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，可列出P关于x的函数关系式；
（2）根据销售额Q=活蟹的销售额+死蟹的销售额，列出Q于x的函数关系式；
（3）根据利润=销售总额-收购成本-费用，列出利润与x天的函数关系，运用函数性质求出最值即可．

解答 解：（1）由题意知：p=30+x；
（2）由题意知：
活蟹的销售额为（1000-10x）（30+x）元，
死蟹的销售额为200x元，
∴Q=（1000-10x）（30+x）+200x=-10x²+900x+30000；
（3）设总利润为L=Q-30000-400x=-10x²+500x，
=-10（x²-50x）=-10（x²-50x+25²-25²）=-10（x-25）²+6250．
当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，理解题意列出函数关系式是解题关键．