Question

10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，
（1）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的三角形；
（2）若AD=3，CD=2，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由于∠ACB=∠ACB=45°，则AC=AB，∠BAC=90°，所以将△ABD绕点A顺时针旋转90°后AB落在AC处，只要作AE⊥DA，且AE=DA即可得到△ACE；
（2）连结DE，如图，根据旋转的性质得AD=AE=3，BD=CE，∠DAE=90°，则可判断△ADE为等腰直角三角形，所以DE=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，∠ADE=45°，于是得到∠CDE=90°，则可利用勾股定理计算出CE，从而得到BD的长．

解答 解：（1）如图，△ACE为所作；

（2）连结DE，如图，
∵△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，
∴AD=AE=3，BD=CE，∠DAE=90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，∠ADE=45°，
∵∠ADC=45°，
∴∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{22}$，
∴BD的长为$\sqrt{22}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决本题的关键是证明△CDE为直角三角形．