Question

20．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）直接写出点B的坐标是（3，1）；
（2）如果抛物线l：y=ax²-ax-2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A₁是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要求点B坐标，首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，即可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法，将点B的坐标代入即可求出抛物线l的解析式；
（3）画出旋转后的图形，过点A₁作x轴的垂线，构造全等三角形，求出点A₁的坐标，代入抛物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出点P的坐标，再根据中心对称的性质和线段中点的公式列出方程，求解即可．

解答 解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠COA}\\{∠BCD=∠CAO}\\{CB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y=ax²-ax-2过点B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（3）旋转后如图1所示，过点A₁作A₁M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC=∠A₁BC=90°，
∴A₁，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A₁CM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠{A}_{1}MC=90°}\\{∠BCD=∠{A}_{1}CM}\\{{A}_{1}C=BC}\end{array}\right.$
∴三角形BDC≌三角形A₁CM
∴CM=CD=3-1=2，A₁M=BD=1，
∴OM=1，
∴点A₁（-1，-1），
把点x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2，
y=-1，
∴点A₁在抛物线上．

                （4）设点P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
$\frac{0+3}{2}=\frac{t+1}{2}$，$\frac{2+1}{2}=\frac{0+{\frac{1}{2}t}^{2}-\frac{1}{2}t-2}{2}$，
无解，
若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
$\frac{1+3}{2}=\frac{0+t}{2}$，$\frac{0+1}{2}=\frac{2+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}t-2}{2}$，
无解，
若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
$\frac{0+1}{2}=\frac{t+3}{2}$，$\frac{2+0}{2}=\frac{1+\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}t-2}{2}$，
解得：t=-2，
$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=1
所以：存在，点P（-2，1）．

点评 此题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，和中心对称的性质，难度很大，在解题中数形结合思想和分类讨论思想的应用是解题的关键．