Question

（10分）
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

⑴请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.
⑵若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

Answer 1

略

分析（1）连接四边形的对角线，根据题目所给四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，可得四边形对边平行且相等，从而判断平行四边形；
（2）只要加对角线相等且互相垂直就可证明是正方形；
解：（1）∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH∥BD，EH="1/2" BD
∵F是BC的中点，G是CD的中点
∴GF∥BD，GF="1/2" BD

∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）若加AC=BD且AC⊥BD，则四边形EFGH会是正方形
在（1）的条件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形