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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A03),点B-10),点D20),DEx轴且∠BED=ABD,延长AEx轴于点F

1)求证:∠BAE=BEA

2)求点F的坐标;

3)如图2,若点Qm-1)在第四象限,点My轴的正半轴上,∠MEQ=OAF,设AM-MQ=n,求mn的数量关系,并证明.

【答案】1)证明见解析;(2F30);(3m=n,证明见解析.

【解析】

1)先证明△ABO≌△BED,从而得出AB=BE,然后根据等边对等角可得出结论;

2)连接OE,设DF=x,先求出点E的坐标,再根据SAOESEOF=SAOF可得出关于x的方程,求出x,从而可得出点F的坐标;

3)过QQPx轴交y轴于P,过EEGOAEHPQ,垂足分别为GH,在GA上截取GK=QH,先证明△EQH≌△EKG,再证明△KEM≌△QEM,得出MK=MQ,从而有AM-MQ=AM-MK=AK=n①;连接EP,证明△AEK≌△PEQ,从而有AK=PQm②,由①②即可得出结论.

解:(1)∵A03),B(-10),D20),

OB=1OD=2OA=3

AO=BD

又∠AOB=BDE=90°,∠BED=∠ABD

∴△ABO≌△BEDAAS),

BA=BE

∴∠BAE=BEA

2)由(1)知,△ABO≌△BED

DE=BO=1,∴E21),

连接OE,设DF=x

SAOESEOF=SAOF

3×2×+(2x×1×=32x×

x=1

∴点F的坐标为(30);

3m=n,证明如下:

OA=OF=3,∴∠OAF=45°=∠MEQ

QQPx轴交y轴于P,过EEGOAEHPQ,垂足分别为GH,在GA上截取GK=QH

Qm,-1),E21),

EG=EH=PH=PG=2

GK=QH,∠EGK=EQH=90°,

∴△EQH≌△EKGSAS),

EK=EQ,∠GEK=HEQ

∵∠GEH=90°,∠MEQ=45°,∴∠QEH+GEM=45°,∴∠GEK+GEM=45°

即∠KEM=45°=MEQ

EM=EM

∴△KEM≌△QEMSAS),∴MK=MQ

AM-MQ=AM-MK=AK=n①,

MQ=MG+KG=MG+QH

连接EP,△EHP为等腰直角三角形,∠EPH=45°

∴∠EPQ=EPA=45°,△EHP为等腰直角三角形,PE=AE,∠PEA=90°,∵∠KEM=MEQ=45°,∴∠KEQ=90°

∴∠AEK=PEQ,∠EPQ=KAE

∴△AEK≌△PEQ

AK=PQm②,

由①②可得,m=n

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