【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A(0,3),点B(-1,0),点D(2,0),DE⊥x轴且∠BED=∠ABD,延长AE交x轴于点F.
(1)求证:∠BAE=∠BEA;
(2)求点F的坐标;
(3)如图2,若点Q(m,-1)在第四象限,点M在y轴的正半轴上,∠MEQ=∠OAF,设AM-MQ=n,求m与n的数量关系,并证明.
【答案】(1)证明见解析;(2)F(3,0);(3)m=n,证明见解析.
【解析】
(1)先证明△ABO≌△BED,从而得出AB=BE,然后根据等边对等角可得出结论;
(2)连接OE,设DF=x,先求出点E的坐标,再根据S△AOE+S△EOF=S△AOF可得出关于x的方程,求出x,从而可得出点F的坐标;
(3)过Q作QP∥x轴交y轴于P,过E作EG⊥OA,EH⊥PQ,垂足分别为G,H,在GA上截取GK=QH,先证明△EQH≌△EKG,再证明△KEM≌△QEM,得出MK=MQ,从而有AM-MQ=AM-MK=AK=n①;连接EP,证明△AEK≌△PEQ,从而有AK=PQ=m②,由①②即可得出结论.
解:(1)∵A(0,3),B(-1,0),D(2,0),
∴OB=1,OD=2,OA=3,
∴AO=BD,
又∠AOB=∠BDE=90°,∠BED=∠ABD,
∴△ABO≌△BED(AAS),
∴BA=BE,
∴∠BAE=∠BEA;
(2)由(1)知,△ABO≌△BED,
∴DE=BO=1,∴E(2,1),
连接OE,设DF=x,
∵S△AOE+S△EOF=S△AOF,
∴3×2×+(2+x)×1×=3(2+x)×,
∴x=1,
∴点F的坐标为(3,0);
(3)m=n,证明如下:
∵OA=OF=3,∴∠OAF=45°=∠MEQ,
过Q作QP∥x轴交y轴于P,过E作EG⊥OA,EH⊥PQ,垂足分别为G,H,在GA上截取GK=QH,
∵Q(m,-1),E(2,1),
∴EG=EH=PH=PG=2,
又GK=QH,∠EGK=∠EQH=90°,
∴△EQH≌△EKG(SAS),
∴EK=EQ,∠GEK=∠HEQ,
∵∠GEH=90°,∠MEQ=45°,∴∠QEH+∠GEM=45°,∴∠GEK+∠GEM=45°,
即∠KEM=45°=∠MEQ,
又EM=EM,
∴△KEM≌△QEM(SAS),∴MK=MQ,
∴AM-MQ=AM-MK=AK=n①,
∴MQ=MG+KG=MG+QH.
连接EP,△EHP为等腰直角三角形,∠EPH=45°,
∴∠EPQ=∠EPA=45°,△EHP为等腰直角三角形,PE=AE,∠PEA=90°,∵∠KEM=∠MEQ=45°,∴∠KEQ=90°,
∴∠AEK=∠PEQ,∠EPQ=∠KAE,
∴△AEK≌△PEQ,
∴AK=PQ=m②,
由①②可得,m=n.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=2x﹣2与x轴交于点A1,如图所示,依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,…,正方形AnBnnCn﹣1,使得点A1,A2,A3,…An在直线l上,点C1,C2,C3,…n在y轴正半轴上,则正方形AnBnnCn﹣1的面积是_____.
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【题目】大家看过中央电视台“购物街”节目吗?其中有一个游戏环节是大转轮比赛,转轮上平均分布着5、10、15、20一直到100共20个数字.选手依次转动转轮,每个人最多有两次机会.选手转动的数字之和最大不超过100者为胜出;若超过100则成绩无效,称为“爆掉”.
(1)某选手第一次转到了数字5,再转第二次,则他两次数字之和为100的可能性有多大?
(2)现在某选手第一次转到了数字65,若再转第二次了则有可能“爆掉”,请你分析“爆掉”的可能性有多大?
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【题目】如图,在等腰梯形中,,对角线于点,点在轴上,点、在轴上.
若,,求点的坐标;
若,,求过点的反比例函数的解析式;
如图,在上有一点,连接,过作交于,交于,在上取,过作交于,交于,当在上运动时,(不与、重合),的值是否发生变化?若变化,求出变化范围;若不变,求出其值.
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【题目】如图,矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上,点为对角线的中点,反比例函数在第一象限内的图象经过点,且与、分别交于、两点,若四边形的面积为,则的值为________.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点G在AD上,且GD=AB=1,AG=3,点E是线段BC上的一个动点(点E不与点B、C重合),连接GB、GE,△GBE与△GFE关于直线GE对称,当点F落在直线BC和直线DC上时,则所有满足条件的线段BE的长是_____.
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【题目】如图,正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为1和3,点C在边BG上,线段DF、EG交于点M,连接DE、BM,则△DEG的面积为____,BM=____.
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