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【题目】如图,在等腰梯形中,,对角线点,点轴上,点轴上.

,求点的坐标;

,求过点的反比例函数的解析式;

如图,在上有一点,连接,过,交,在上取,过,交,当上运动时,(不与重合),的值是否发生变化?若变化,求出变化范围;若不变,求出其值.

【答案】(1);(2):;(3).

【解析】

(1)根据等腰三角形的性质知:AD=BC,在RtAOD中,已知AD,OA的长,可将OD的长求出,从而可知点D的坐标;

(2)作辅助线,作BHDEH,过B点作BEACx轴于点E,则四边形ABEC为平行四边形,AB=CE,BE=AC,由ACBD,可得:BDBE,故在RtBDE中,由斜边DE的长可知:BH的长,在RtBHC中,运用勾股定理可将CH的长求出,进而可将OH的长求出,知点B的坐标,从而可求出求过B点的反比例函数的解析式;

(3)作辅助线,过点DDNPCPE的延长线于点M,交HF的延长线于点N,过点MMIEFBN于点I,易证四边形EFIM和四边形MNHP是平行四边形,从而可证:EDM≌△IMN,DM=MN,进而可证:PDM≌△CPQ,DM=PQ=PH,故:=1,为定值.

在等腰梯形中,

又∵

,过点作轴于点

是平行四边形,

又∵为等腰梯形,

的中点,即为直角三角形斜边上的中线,

∴过点的反比例函数的解析式为:

过点的延长线于点,交的延长线于点,过点于点

易证四边形和四边形是平行四边形,

又∵

.

知:,而

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