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【题目】如图,抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2﹣4x+3;(2P的坐标为:(2,1).

【解析】

试题分析:(1)根据抛物线经过点A(1,0),对称轴是x=2列出方程组,解方程组求出b、c的值即可;

(2)因为点A与点C关于x=2对称,根据轴对称的性质,连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,求出直线BC与x=2的交点即可.

解:(1)由题意得,

解得b=4,c=3,

抛物线的解析式为.y=x2﹣4x+3;

(2)点A与点C关于x=2对称,

连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,

根据抛物线的对称性可知,点C的坐标为(3,0),

y=x2﹣4x+3与y轴的交点为(0,3),

设直线BC的解析式为:y=kx+b,

解得,k=﹣1,b=3,

直线BC的解析式为:y=﹣x+3,

则直线BC与x=2的交点坐标为:(2,1)

点P的坐标为:(2,1).

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