Question

8．如图，在小岛M处测得一艘渔船位于南偏东45°方向A处，该渔船从南向正北方向行驶一段距离后，到达位于小岛北偏东60°方向的B处，又航行了半小时到达C处，此时渔船在小岛的东北方向，渔船的速度为20海里/小时．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离；（结果保留根号）
（2）求渔船从A航行到B所用的时间（结果精确到0.1小时）．
（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 （1）如图，由题意得到∠A=∠DMA=∠C=∠CMD=45°，∠MBD=60°，求得CD=DM=AD，MD⊥AC，在Rt△BMD中，由tan∠MBD=$\frac{DM}{BD}$=$\sqrt{3}$，于是得到BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM，即可得到结论；
（2）根据AD=DM=5（3+$\sqrt{3}$），BD=5（$\sqrt{3}$+1）求出AB=AD+BD=10$\sqrt{3}$+20，即可得到结果．

解答 解：（1）如图，由题意得：∠A=∠DMA=∠C=∠CMD=45°，∠MBD=60°，
∴CD=DM=AD，MD⊥AC，
在Rt△BMD中，tan∠MBD=$\frac{DM}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM，
∵BC=20×$\frac{1}{2}$=10，
∴CD-BD=DM-$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM=10，
∴DM=5（3+$\sqrt{3}$），
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离是5（3+$\sqrt{3}$）（海里）；

（2）∵AD=DM=5（3+$\sqrt{3}$），BD=5（$\sqrt{3}$+1）
∴AB=AD+BD=10$\sqrt{3}$+20，
∴渔船从A航行到B所用的时间为：$\frac{10\sqrt{3}+20}{20}$≈1.9（小时）．
答：渔船从A航行到B所用的时间约为1.9小时．

点评 本题考查了解直角三角形的应用---方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．