Question

17．已知：AB∥CD，∠AEB=∠BFC．
（1）如图1，求证：∠AEB=∠ABE+∠DCF．
（2）如图2，连接BC，∠BCF=2∠ABE，点P在射线AB上，∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCD，射线CP交EF于点M，补全图形后请探究∠BMC、∠CAB、∠AEB的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，过F作FH∥AB．根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠FDC，由等量代换得到∠BFC=∠ABE+∠FCD，即可得到结论；
（2）设∠BCP=∠DCP=x，∠ABE=∠PBF=y，∠PCF=z，根据已知条件得到x+z=2y，即2y-z=x，由（1）知，∠AEB=∠ABE+∠DCF=x+y，∠E=∠PBF+∠DCF=∠PBF+∠DCP-∠PCF=x+y-z，于是得到2（∠BMC+∠E）=2（x+y+y+x-z）=2（2x+x）=6x，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过F作FH∥AB．
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠FDC，
∵∠2=∠ABE，
∴∠1=∠ABE，
∵∠BFC=∠1+∠3，
∴∠BFC=∠ABE+∠FCD，
∵∠AEB=∠BFC，
∴∠AEB=∠ABE+∠DCF；

（2）设∠BCP=∠DCP=x，∠ABE=∠PBF=y，∠PCF=z，
∵∠BCF=2∠ABE，
∴x+z=2y，即2y-z=x，
由（1）知，∠AEB=∠ABE+∠DCF=x+y，∠E=∠PBF+∠DCF=∠PBF+∠DCP-∠PCF=x+y-z，
∴2（∠BMC+∠E）=2（x+y+y+x-z）=2（2x+x）=6x，
∵3∠CAB=3（∠E+∠ABE）=3（x+y-z+y）=3（x+x）=6x，
∴2（∠BMC+∠AEB）=3∠CAB．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．