Question

18．已知，如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5$\sqrt{3}$，BC=8，CD=6，AD=5
（1）试判断点A，B，C，D，是否在同一圆上，并证明你的结论
（2）若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，求其外接圆的面积（提示：取BD的中点O）

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出BD，由勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，∠C=90°，得出∠A+∠C=180°，即可证出点A，B，C，D在同一圆上；
（2）证明BD是圆的直径，得出圆的半径=$\frac{1}{2}$BD=5，即可求出外接圆的面积．

解答 解：（1）点A，B，C，D在同一圆上；理由如下：
连接BD，如图所示：
∵∠A=90°，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=10，
∵6²+8²=10²，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°，
∴点A，B，C，D在同一圆上；
（2）∵点A，B，C，D在同一圆上，∠A=90°，
∴BD是圆的直径，
∴圆的半径=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴外接圆的面积=π×5²=25π．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、四点共圆、圆周角定理、圆的面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．