Question

2．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=6，BC=14，CD=4，点P是边BC上的一点，连接AP，过点B作BE⊥AP，垂足为E．
（1）当点P在边BC上移动时（点P不与点B重合），AE•AP的值是否发生变化？若不变，求出这个值；若变化，说明理由；
（2）当点P移动到BC的中点时，连接AC、BC，求证：∠PAC=∠PCE；
（3）点P在BC上移动，当以P、C、D为顶点的三角形与△PAB相似时，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）结论：AE•AP的值不发生变化．AE•AP=36．只要证明△ABE∽△APB，推出$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AE}{AB}$，即可解决问题．
（2）只要证明△CPE∽△APC即可．
（3）分两种情形讨论①若△PBA∽△PCD，②若△PBA∽△DCP，分别列出方程即可解决问题．

解答 （1）解：结论：AE•AP的值不发生变化．AE•AP=36．
理由：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABP=∠AEB，∵∠BAE=∠BAP，
∴△ABE∽△APB，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE•AP=AB²=36．

（2）证明：∵∠BPA=∠BPE，∠PBA=∠PEB，
∴△PBE∽△PAB，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{PE}{PB}$，∵PB=PC，
∴PC²=PE•PA，
∴$\frac{PC}{PE}$=$\frac{PA}{PC}$，∵∠CPE=∠CPA，
∴△CPE∽△APC，
∴∠PCE=∠PAC．

（3）设PB=x则PC=14-x，
①若△PBA∽△PCD，
则有$\frac{PB}{PC}$=$\frac{AB}{CD}$，
∴$\frac{x}{14-x}$=$\frac{6}{4}$，
∴PB=x=$\frac{42}{5}$．
②若若△PBA∽△DCP，
则有$\frac{PB}{DC}$=$\frac{AB}{CP}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{6}{14-x}$，
∴x=2或12，
∴PB=2或12，
综上所述，PB=$\frac{42}{5}$或2或12．

点评 本题考查相似形综合题、几天倒计时记住相似三角形的判定方法，熟练掌握新三角形的判定是解题的关键，学会分类讨论，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．