Question

11．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=∠ACG=4∠EDC，CG=AD=4，$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ACG}}}}$=$\frac{1}{4}$，BC=4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 ①根据角的关系证明∠AED=∠ADE，则AD=AE，所以AE=CG，证明△ABE≌△CAG，则面积相等；
②作辅助线，构建三角形的高线BF和DH，根据中位线的性质得：DH∥BF，DH=$\frac{1}{2}$BF，代入已知的三角形面积的关系式得：S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BF=4S_△DEC=4×$\frac{1}{2}$CE•DH，得出AE=2CE，求CE的长，利用勾股定理求CD=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，所以BC=2CD=4$\sqrt{5}$．

解答 解：设∠EDC=α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADE+α=90°，
∠DAB=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=4α，
∴∠DAB=∠DAC=2α，
∵∠DAC+∠ADE+∠AED=180°，
∴2α+∠ADE+∠AED=180°，
∵∠ADE+α=90°，
∴∠AED+α=90°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∵AD=CG，
∴AE=CG，
连接BE，
在△ABE和△CAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠ACG}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAG（SAS），
∴S_△ABE=S_△CAG，
∵$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ACG}}}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△ACG=4S_△DEC，
∴S_△ABE=4S_△DEC，
过B作BF⊥AC，交CA的延长线于F，取CF的中点H，连接DH，
∵D是BC的中点，
∴DH∥BF，DH=$\frac{1}{2}$BF，
∴DH⊥AC，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BF=4S_△DEC=4×$\frac{1}{2}$CE•DH，
AE•BF=4CE$•\frac{1}{2}$BF，
∴AE=2CE，
∵CG=AD=AE=4，
∴CE=2，
∴AC=6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BC=2CD=4$\sqrt{5}$，
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、三角形面积、勾股定理等知识，难度较大，作出辅助线是本题的突破口，证明三角形全等和求出AE=2CE是本题的关键．