Question

2．已知正数a，b，c满足$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{c^2}={4^2}\\{b^2}+{c^2}={5^2}\end{array}\right.$，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 设a²+b²=k③，先将原方程相加后得方程④，③与④组成新的方程组，分别相加或相减得出关于k的不等式，三个不等式组成不等式组解出即可．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}={4}^{2}①}\\{{b}^{2}+{c}^{2}={5}^{2}②}\end{array}\right.$，
设a²+b²=k③，
由②-①得：b²-a²=5²-4²=9④，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=k③}\\{{b}^{2}-{a}^{2}=9④}\end{array}\right.$，
③-④得：2a²=k-9，
a²=$\frac{k-9}{2}$＞0，
③+④得：2b²=k+9，
b²=$\frac{k+9}{2}$＞0，
①+②得：a²+b²+2c²=4²+5²，
k+2c²=41，
c²=$\frac{41-k}{2}$＞0，
得：9＜k＜41，
即a²+b²的取值为：9＜a²+b²＜41．

点评 本题是求高次方程的取值问题，考查了根据方程的特点进行加减消元及不等式组的解法，有一定的技巧性．