Question

16．现场学习题
问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{17}$，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．2.5．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为$\sqrt{2}$a，2$\sqrt{5}$a、$\sqrt{26}$a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：3a²．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$、$\sqrt{16{m}^{2}+{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，m≠n），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：3mn．

Answer 1

分析 （1）把△ABC所在长方形画出来，再用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可；
（2）$\sqrt{2}$a是直角边长为a、a的直角三角形的斜边；2 $\sqrt{5}$a是直角边长为4a，2a的直角三角形的斜边；$\sqrt{26}$a是直角边长为a，5a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为n，4m的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．

解答 解：（1）S_△ABC=4×2-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×2×3=2.5，
故答案为：2.5；
（2）如图所示：

S_△ABC=5a×2a-$\frac{1}{2}$×a×a-$\frac{1}{2}$×2a×4a-$\frac{1}{2}$×a×5a=3a²，
故答案为：3a²；
（3）如图所示：

S_△ABC=4m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×n-$\frac{1}{2}$×4m×n=3mn，
故答案为：3mn．

点评 此题主要考查了勾股定理，作图，本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形面积减直角三角形表示出所求三角形的面积．