Question

已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+

3

2

在x=0和x=2时的函数值相等
（1）求二次函数的解析式，并作图象；
（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的象都经过点A（-3，m），求m和k的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x=1，则-

2(t+2)

2(t+1)

=1，据此易求t的值，把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；
（2）把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次函数解析式，也是利用方程来求k的值．

解答：解：（1）∵二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+

3

2

在x=0和x=2时的函数值相等，
∴对称轴x=-

2(t+2)

2(t+1)

=

0+2

2

=1，即-

2(t+2)

2(t+1)

=1，
解得，t=-

3

2

，
则二次函数的解析式为：y=（-

3

2

+1）x²+2（-

3

2

+2）x+

3

2

，即y=-

1

2

（x+1）（x-3）或y=-

1

2

（x-1）²+2，
∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（-1，0），（3，0），（0，

3

2

），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：
；

（2）∵二次函数的象经过点A（-3，m），
∴m=-

1

2

（-3+1）（-3-3）=-6．
又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（-3，m），
∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，
解得，k=4．
综上所述，m和k的值分别是-6、4．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质．