Question

20．在⊙O中，弦AB=4$\sqrt{3}$cm，∠AOB=120°，则⊙O的半径为4cm．

Answer 1

分析 过O作OC垂直于AB，根据垂径定理可得C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，又OA=OB，OC垂直于AB，根据三线合一得到OC为角平分线，根据∠AOB的度数求出∠AOC的度数为60°，根据直角三角形的两锐角互余可得∠A=30°，可设OC为xcm，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得OA=2xcm，再由AC的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，可得出OA的长，即为圆的半径．

解答 解：过O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示：
∵OC⊥AB，且AB=4$\sqrt{3}$cm，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$cm，
又∵OA=OB，OC⊥AB，
∴OC为∠AOB的平分线，∠AOB=120°
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=60°，
∴∠A=30°，
设OC=xcm，则有OA=2xcm，
根据勾股定理得：AC²+OC²=OA²，即（2$\sqrt{3}$）²+x²=4x²，
解得：x=2，或x=-2（舍去），
则半径OA=2x=4cm．
故答案为：4．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，利用了方程的思想，在圆中遇到弦，常常过圆心作弦的垂线，根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．