Question

如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF=

5

，点G、H分别为AB、CD边上的点，连接GH，若线段GH与EF的夹角为45°，则GH的长为（　　）

• A、

  5

• B、

  2 10

  3

• C、

  2 5

  3

• D、

  7

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：过点B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，可得∠KBM=45°，作∠MBN=45°交DC的延长线于N，求出∠ABK=∠CBN，然后利用“角边角”证明△ABK和△CBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=BK，AK=CN，利用勾股定理列式求出AK，过点M作MP⊥BN于P，可得△BMP是等腰直角三角形，设GH=BM=x，表示出MP，然后利用∠N的正切值列出方程求解即可．

解答：解：如图，过点B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，
则BK=EF=

5

，BM=GH，
∵线段GH与EF的夹角为45°，
∴∠KBM=45°，
∴∠ABK+∠CBM=90°-45°=45°，
作∠MBN=45°交DC的延长线于N，
则∠CBN+∠CBM=45°，
∴∠ABK=∠CBN，
在△ABK和△CBN中，

∠ABK=∠CBN AB=BC ∠A=∠BCN=90°

，
∴△ABK≌△CBN（ASA），
∴BN=BK，AK=CN，
在Rt△ABK中，AK=

BK2-AB2

=

( 5 )2-22

=1，
过点M作MP⊥BN于P，
∵∠MBN=45°，
∴△BMP是等腰直角三角形，
设GH=BM=x，则BP=MP=

2

2

BM=

2

2

x，
∵tan∠N=

BC

CN

=

MP

PN

，
∴

2

1

=

2 2 x

5 - 2 2 x

，
解得x=

2 10

3

，
所以GH=

2 10

3

．
故选B．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．