Question

12．先化简，再求值：$\frac{a}{a+1}$-$\frac{a+3}{a-1}$•$\frac{{a}^{2}-2a+1}{{a}^{2}+4a+3}$，其中a是方程a²+3a-1=0的一个根．

Answer 1

分析 原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出已知方程的解得到a的值，代入计算即可求出值．

解答 解：原式=$\frac{a}{a+1}$-$\frac{a+3}{a-1}$•$\frac{（a-1）^{2}}{（a+1）（a+3）}$=$\frac{a}{a+1}$-$\frac{a-1}{a+1}$=$\frac{1}{a+1}$，
∵a是方程a²+3a-1=0的一个根，
∴a=$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$或a=$\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$，
若a=$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，原式=$\frac{1}{\frac{-3+\sqrt{13}}{2}+1}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{6}$；
若a=$\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$，原式=$\frac{1}{\frac{-3-\sqrt{13}}{2}+1}$=-$\frac{\sqrt{13}-1}{6}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．